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解答
[1]
勝ちチーム、負けチームの得点の平均をそれぞれ\(\bar{x}\), \(\bar{y}\)、分散を\(s_x^2\), \(s_y^2\)とし、90個を合わせた得点の平均と分散を\(\bar{t}\), \(s_t^2\)とする。 両群は45個ずつなので、
\[ \bar{t}=\frac{45\bar{x}+45\bar{y}}{90}=\frac{8.6+4.9}{2}=6.75 \]
である。 各群の偏差平方和を、それぞれの群平均まわりと全体平均まわりに分けると、除数を90として
\[ \begin{aligned} s_t^2 &=\frac{1}{90}\sum_{i=1}^{45}\left\{(x_i-\bar{t})^2+(y_i-\bar{t})^2\right\} \\ &=\frac{s_x^2+s_y^2}{2} +\frac{(\bar{x}-\bar{t})^2+(\bar{y}-\bar{t})^2}{2} \\ &=\frac{2.0+2.0}{2}+\frac{1.85^2+(-1.85)^2}{2} \\ &=5.4225 \end{aligned} \]
となる。
[2]
45試合の得点の標本共分散を\(s_{xy}\)とする。 表1の相関係数から
\[ s_{xy}=r_{xy}s_xs_y =0.16\times\sqrt{2.0}\times\sqrt{2.0} =0.32 \]
である。 和\(w_i=x_i+y_i\)と差\(d_i=x_i-y_i\)の平均は
\[ \bar{w}=\bar{x}+\bar{y}=13.5,\qquad \bar{d}=\bar{x}-\bar{y}=3.7 \]
となる。 各得点の群平均からの偏差を用いて二乗を展開すると、和と差の分散はそれぞれ
\[ \begin{aligned} s_w^2&=\frac{1}{45}\sum_{i=1}^{45}(w_i-\bar{w})^2 =\frac{1}{45}\sum_{i=1}^{45}\{(x_i-\bar{x})+(y_i-\bar{y})\}^2 \\ &=s_x^2+s_y^2+2s_{xy} =2.0+2.0+2\times(0.32) =4.64 \\ s_d^2&=\frac{1}{45}\sum_{i=1}^{45}(d_i-\bar{d})^2 =\frac{1}{45}\sum_{i=1}^{45}\{(x_i-\bar{x})-(y_i-\bar{y})\}^2 \\ &=s_x^2+s_y^2-2s_{xy} =2.0+2.0-2\times(0.32) =3.36 \end{aligned} \]
となる。
[3]
和と差の標本共分散を\(s_{wd}\)とする。 中心化した積は
\[ \begin{aligned} (w_i-\bar{w})(d_i-\bar{d}) &=\{(x_i-\bar{x})+(y_i-\bar{y})\} \{(x_i-\bar{x})-(y_i-\bar{y})\} \\ &=(x_i-\bar{x})^2-(y_i-\bar{y})^2 \end{aligned} \]
だから、\(s_{wd}=s_x^2-s_y^2=0\)である。 [2]より\(s_w^2,s_d^2>0\)なので、求める相関係数は
\[ r_{wd}=\frac{s_{wd}}{s_ws_d}=0 \]
となる。
[4]
独立な正規分布に従う日本とスイスの得点をそれぞれ\(U\), \(V\)とする。 差\(U-V\)の期待値と分散は
\[ \operatorname{E}[U-V]=7.1-7.4=-0.3 \]
および
\[ \operatorname{Var}(U-V)=6.1+1.4=7.5 \]
である。 したがって、
\[ U-V\sim N(-0.3,\,7.5) \]
となる。 \(Z=(U-V+0.3)/\sqrt{7.5}\)とおくと、\(Z\)は標準正規分布に従い、
\[ \frac{0.3}{\sqrt{7.5}}\approx 0.11 \]
である。 よって、正規分布表より日本が勝つ確率の近似値は
\[ P(U-V\geq 0) =P\left(Z\geq\frac{0.3}{\sqrt{7.5}}\right) \approx P(Z\geq 0.11) \approx 0.4562 \]
となる。