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解答
[1]
ベイズの公式より、\(P(B)>0\)のとき、
\[ \begin{aligned} P(A_j\,|\,B) &=\frac{P(B\,|\,A_j)P(A_j)}{P(B)} \\ &=\frac{1}{mP(B)}P(B\,|\,A_j) \end{aligned} \]
である。\(m\)と\(P(B)\)は\(j\)によらないので、
\[ c=\frac{1}{mP(B)} \]
とおけば、
\[ P(A_j\,|\,B)=cP(B\,|\,A_j), \qquad j=1,\ldots,m \]
となる。したがって、\(P(A_j\,|\,B)\)は\(P(B\,|\,A_j)\)に比例する。
[2]
\(A_j\)を箱\(j\)が当たりである事象、\(B\)を箱3が開けられる事象とする。 当たりの箱は等確率で選ばれるので、
\[ P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\frac{1}{3} \]
である。
箱1が当たりなら、外れである箱2と箱3を等確率で開ける。箱2が当たりなら箱3を必ず開け、箱3が当たりなら箱3は開けない。 したがって、
\[ P(B\,|\,A_1) = \frac{1}{2}, \qquad P(B\,|\,A_2) = 1, \qquad P(B\,|\,A_3) = 0 \]
である。全確率の公式より、
\[ \begin{aligned} P(B) &=\sum_{j=1}^3P(B\,|\,A_j)P(A_j) \\ &=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}+1\times\frac{1}{3}+0\times\frac{1}{3} \\ &=\frac{1}{2} \end{aligned} \]
となる。よって、箱3が開けられたという条件のもとで箱2が当たりである確率は
\[ \begin{aligned} P(A_2\,|\,B) &=\frac{P(B\,|\,A_2)P(A_2)}{P(B)} \\ &=\frac{1\times(1/3)}{1/2} \\ &=\frac{2}{3} \end{aligned} \]
である。
[3]
[2]と同じ事象を用いる。箱1が当たりである場合に箱3を開ける確率が\(w\)であるから、
\[ P(B\,|\,A_1) = w, \qquad P(B\,|\,A_2) = 1, \qquad P(B\,|\,A_3) = 0 \]
である。したがって、
\[ P(B)=\frac{w}{3}+\frac{1}{3}=\frac{1+w}{3} \]
となる。箱3が開けられたという条件のもとで箱2が当たりである確率\(p\)は
\[ \begin{aligned} p=P(A_2\,|\,B) &=\frac{P(B\,|\,A_2)P(A_2)}{P(B)} \\ &=\frac{1/3}{(1+w)/3} \\ &=\frac{1}{1+w} \end{aligned} \]
である。
\(w\)は確率なので\(0 \leq w \leq 1\)であり、\(p=1/(1+w)\)はこの範囲で単調減少する。 \(w=0\)のとき\(p=1\)、\(w=1\)のとき\(p=1/2\)であるから、
\[ \frac{1}{2} \leq p \leq 1 \]
となる。
[4]
帰無仮説\(H_0:p=1/2\)のもとでは\(X\sim B(n, 1/2)\)である。 ここで、確率変数\(X\)が二項分布\(B(n, p)\)に従っているとすると、\(X\)の確率関数\(f(x)\)は
\[ f(x) = P(X=x) = \begin{cases} {}_{n}C_x p^x(1-p)^{n-x} & x=0,1,\ldots,n\\ 0 & \text{それ以外} \end{cases} \]
である。 これより、棄却域に入る確率は
\[ \begin{aligned} P(X\geq n-1\,|\,p=1/2) &=P(X=n-1\,|\,p=1/2)+P(X=n\,|\,p=1/2) \\ &={}_{n}C_{n-1} \left(\frac{1}{2}\right)^n +{}_{n}C_{n} \left(\frac{1}{2}\right)^n \\ &=\frac{n+1}{2^n} \end{aligned} \]
となる。
\(n=7\)では
\[ \frac{8}{2^7}=0.0625 > 0.05 \]
であり、\(n=8\)では
\[ \frac{9}{2^8}=0.03515625 \leq 0.05 \]
である。また、\((n+1)/2^n\)は正整数\(n\)に対して単調減少するので、条件を満たす最小の試行回数は
\[ n_0=8 \]
である。
\(n_0=8\)のとき、対立仮説\(H_1:p=2/3\)のもとでの検出力は、
\[ \begin{aligned} P(X\geq7\,|\,p=2/3) &={}_{8}C_{7} \left(\frac{2}{3}\right)^7 \left(\frac{1}{3}\right) +{}_{8}C_{8} \left(\frac{2}{3}\right)^8 \\ &=\frac{1280}{6561} \\ &\approx0.1951 \end{aligned} \]
となる。