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解答
[1]
\(0\leq r_{12}<1\)より、正規方程式の係数行列の行列式は\(1-r_{12}^2>0\)である。 その逆行列を左から掛けると、
\[ \begin{aligned} \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} &=\frac{1}{1-r_{12}^{2}} \begin{pmatrix} 1 & -r_{12}\\ -r_{12} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}r_{y1}\\r_{y2}\end{pmatrix} \\ &=\frac{1}{1-r_{12}^{2}} \begin{pmatrix} r_{y1}-r_{12}r_{y2}\\ r_{y2}-r_{12}r_{y1} \end{pmatrix} \end{aligned} \]
となる。 したがって、
\[ \begin{aligned} b_1&=\frac{r_{y1}-r_{12}r_{y2}}{1-r_{12}^{2}} \\ b_2&=\frac{r_{y2}-r_{12}r_{y1}}{1-r_{12}^{2}} \end{aligned} \]
である。 \(r_{12}=0.5\), \(r_{y1}=0.6\), \(r_{y2}=0\)を代入すると、
\[ \begin{aligned} b_1&=\frac{0.6-0.5\times0}{1-0.5^{2}}=0.8 \\ b_2&=\frac{0-0.5\times0.6}{1-0.5^{2}}=-0.4 \end{aligned} \]
となり、重回帰式\(y=0.8x_1-0.4x_2\)が得られる。 よって、Aさんの計算は正しい。
[2]
[1]の式から、
\[ b_1=\frac{r_{y1}-r_{12}r_{y2}}{1-r_{12}^{2}} \]
である。 これより、不等式\(b_1>r_{y1}\)は
\[ \frac{r_{y1}-r_{12}r_{y2}}{1-r_{12}^{2}} > r_{y1} \]
となる。 ここで、\(1-r_{12}^{2} > 0\)より、不等式は
\[ r_{y1}-r_{12}r_{y2} > r_{y1}(1-r_{12}^{2}) \]
となる。 これらを整理すると
\[ r_{12}r_{y2} < r_{y1}r_{12}^{2} \]
となる。 \(r_{12}=0\)ではこの不等式は成り立たないので、\(b_1>r_{y1}\)のためには\(r_{12}>0\)が必要である。 また、\(r_{12}>0\)のとき\(r_{y1}>0\)より、
\[ b_1>r_{y1}\quad\Longleftrightarrow\quad r_{12}>\frac{r_{y2}}{r_{y1}} \]
となる。 以上より
\[ b_1>r_{y1}\quad\Longleftrightarrow\quad r_{12}>0\ \text{かつ}\ r_{12}>\frac{r_{y2}}{r_{y1}} \]
となる。
[3]
[1]の式から、
\[ b_2=\frac{r_{y2}-r_{12}r_{y1}}{1-r_{12}^{2}} \]
である。 これより、不等式\(b_2<0\)は
\[ \frac{r_{y2}-r_{12}r_{y1}}{1-r_{12}^{2}}<0 \]
となる。 ここで、\(1-r_{12}^{2}>0\)より、不等式は
\[ r_{y2}-r_{12}r_{y1}<0 \]
となる。 これを整理すると、
\[ r_{y2}<r_{12}r_{y1} \]
である。 \(r_{y1}>0\)より、
\[ b_2<0\quad\Longleftrightarrow\quad r_{12}>\frac{r_{y2}}{r_{y1}} \]
となる。 ここでは\(r_{y2}\geq0\)なので、上の条件から\(r_{12}>0\)も従う。 したがって、問題文より\(0\leq r_{12}<1\)のもとで、求める条件は
\[ \frac{r_{y2}}{r_{y1}}<r_{12}<1 \]
である。
[4]
ここでは表記の簡単のために、\(\operatorname{Var}\)と\(\operatorname{Cov}\)を、与えられたデータにおける標本分散・標本共分散の記号として用いる。 また、観測数を\(n\)とし、第\(i\)応募者の第\(j\)科目の標準化得点を\(x_{ji}\)とする。 分散・共分散は、偏差の平方和・積和をそれぞれ\(n\)で割ったものとし、標準化には、この分散の平方根を用いる。 各変量の標本平均は\(0\)なので、
\[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(x_j) &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{ji}^{2}=1 \\ \operatorname{Cov}(x_1,x_2) &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{1i}x_{2i}=0.5 \end{aligned} \]
である。 予測値の標本平均も\(0\)となるため、
\[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(\hat{y}) &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(0.8x_{1i}-0.4x_{2i})^{2} \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(0.64x_{1i}^{2}+0.16x_{2i}^{2}-0.64x_{1i}x_{2i}\right) \\ &= 0.64\operatorname{Var}(x_1)+0.16\operatorname{Var}(x_2)-0.64\operatorname{Cov}(x_1,x_2) \\ &= 0.64+0.16-0.64\times0.5=0.48 \end{aligned} \]
となる。 同様に、\(y_i\)を第\(i\)応募者の情報の標準化得点とすると、
\[ \begin{aligned} \operatorname{Cov}(y,\hat{y}) &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i(0.8x_{1i}-0.4x_{2i}) \\ &=0.8\operatorname{Cov}(y,x_1)-0.4\operatorname{Cov}(y,x_2) \\ &=0.8\times0.6-0.4\times0=0.48 \end{aligned} \]
である。
[5]
残差を\(e=y-\hat{y}\)とすると、[4]より
\[ \operatorname{Cov}(\hat{y},e)=\operatorname{Cov}(\hat{y},y)-\operatorname{Var}(\hat{y})=0 \]
である。 したがって、\(y=\hat{y}+e\)の標本分散は
\[ \operatorname{Var}(y)=\operatorname{Var}(\hat{y})+\operatorname{Var}(e) \]
と分解される。 決定係数は残差平方和と全平方和の比を用いて
\[ \begin{aligned} R_2^2 &= 1-\frac{\operatorname{Var}(e)}{\operatorname{Var}(y)} \\ &= \frac{\operatorname{Var}(\hat{y})}{\operatorname{Var}(y)}=\frac{0.48}{1}=0.48 \end{aligned} \]
となる。