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解答
[1]
ここでは、母集団が\(H\)個の層からなり、第\(h\)層の大きさを\(N_h\)（\(h=1,\ldots,H\)）とする。 全体の大きさ\(N\)と各層の比率\(p_h\)は
\[ N=\sum_{h=1}^H N_h,\qquad p_h=\frac{N_h}{N} \]
である。 第\(h\)層に属する全社員の通勤時間を\(x_{hj}\)（\(j=1,\ldots,N_h\)）と書くとする。 層内平均を
\[ \mu_h=\frac{1}{N_h}\sum_{j=1}^{N_h}x_{hj} \]
と定義すると、全体の母平均\(\mu\)は
\[ \begin{aligned} \mu &=\frac{1}{N}\sum_{h=1}^H\sum_{j=1}^{N_h}x_{hj} \\ &=\sum_{h=1}^H\frac{N_h}{N}\mu_h =\sum_{h=1}^H p_h\mu_h \end{aligned} \]
と表せる。 ここで\(H=2\)のとき、全体の母平均は
\[ \mu=\frac{N_1\mu_1+N_2\mu_2}{N}=p_1\mu_1+p_2\mu_2 \]
である。
母分散と層内分散はそれぞれ
\[ \begin{aligned} \sigma^2 &=\frac{1}{N}\sum_{h=1}^H\sum_{j=1}^{N_h}(x_{hj}-\mu)^2 \\ \sigma_h^2 &=\frac{1}{N_h}\sum_{j=1}^{N_h}(x_{hj}-\mu_h)^2 \end{aligned} \]
である。 各層で全体平均からの偏差を層内平均からの偏差と層内平均のずれに分けて求める。 各層では\(\sum_{j=1}^{N_h}(x_{hj}-\mu_h)=0\)なので、
\[ \begin{aligned} \sum_{j=1}^{N_h}(x_{hj}-\mu)^2 &=\sum_{j=1}^{N_h}\{(x_{hj}-\mu_h)+(\mu_h-\mu)\}^2 \\ &=\sum_{j=1}^{N_h}(x_{hj}-\mu_h)^2 +2(\mu_h-\mu)\sum_{j=1}^{N_h}(x_{hj}-\mu_h) \\ &\quad+N_h(\mu_h-\mu)^2 \\ &=N_h\sigma_h^2+N_h(\mu_h-\mu)^2 \end{aligned} \]
となる。 全\(H\)層について足し合わせて\(N\)で割ると、
\[ \sigma^2=\sum_{h=1}^H p_h\sigma_h^2+\sum_{h=1}^H p_h(\mu_h-\mu)^2 \]
を得る。
\(H=2\)のときは
\[ \sigma^2=p_1\sigma_1^2+p_2\sigma_2^2+p_1(\mu_1-\mu)^2+p_2(\mu_2-\mu)^2 \]
である。 ここで、\(\mu=p_1\mu_1+p_2\mu_2\)と\(p_1+p_2=1\)より
\[ \mu_1-\mu=p_2(\mu_1-\mu_2),\qquad\mu_2-\mu=-p_1(\mu_1-\mu_2) \]
となるから、層間の項は
\[ \begin{aligned} p_1(\mu_1-\mu)^2+p_2(\mu_2-\mu)^2 &=(p_1p_2^2+p_2p_1^2)(\mu_1-\mu_2)^2 \\ &=p_1p_2(\mu_1-\mu_2)^2 \end{aligned} \]
とまとめられる。 したがって、求める母分散は
\[ \sigma^2=p_1\sigma_1^2+p_2\sigma_2^2+p_1p_2(\mu_1-\mu_2)^2 \]
である。
以上より、表1の値を代入すると
\[ \mu=0.25\times90+0.75\times30=45 \]
であり、
\[ \begin{aligned} \sigma^2 &=0.25\times30^2+0.75\times10^2 +0.25\times0.75\times(90-30)^2 \\ &=225+75+675=975 \end{aligned} \]
となる。 母平均は\(45\)、母分散は\(975\)である。
[2]
単純無作為抽出では、各抽出位置の通勤時間\(X_i\)の周辺期待値は\(\mu\)である。 期待値の線形性から
\[ \operatorname{E}[\bar{X}]=\frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100}\operatorname{E}[X_i]=\mu=45 \]
となる。 非復元抽出では抽出値同士は独立ではないが、設問の指定どおり有限母集団修正を省く分散式を用いると
\[ \operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{100}=\frac{975}{100}=9.75 \]
である。
[3]
第\(h\)層の標本平均を
\[ \bar{X}_h=\frac{1}{n_h}\sum_{i=1}^{n_h}X_{hi} \]
とすると、推定量は\(\tilde{X}=p_1\bar{X}_1+p_2\bar{X}_2\)と書ける。 各層の標本は別々に抽出されるので、両層の標本平均の共分散は\(0\)である。 また、有限母集団修正を省くと\(\operatorname{Var}(\bar{X}_h)=\sigma_h^2/n_h\)である。 したがって
\[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(\tilde{X}) &=p_1^2\operatorname{Var}(\bar{X}_1)+p_2^2\operatorname{Var}(\bar{X}_2) \\ &=\frac{p_1^2\sigma_1^2}{n_1}+\frac{p_2^2\sigma_2^2}{n_2} \end{aligned} \]
となる。 比例配分\(n_1=p_1n\), \(n_2=p_2n\)を代入すると
\[ \operatorname{Var}(\tilde{X})=\frac{p_1\sigma_1^2+p_2\sigma_2^2}{n} \]
を得る。 表1で\(n_1=25\), \(n_2=75\)の場合は
\[ \operatorname{Var}(\tilde{X})=\frac{0.25\times30^2+0.75\times10^2}{100}=3 \]
である。
[4]
ネイマン配分の比\(n_1:n_2=p_1\sigma_1:p_2\sigma_2\)より、共通の定数\(c\)を用いて
\[ n_h=cp_h\sigma_h\qquad(h=1,2) \]
と書ける。 \(n_1+n_2=n\)なので
\[ n=c(p_1\sigma_1+p_2\sigma_2) \]
となり、\(c=n/(p_1\sigma_1+p_2\sigma_2)\)を代入すると
\[ n_h=\frac{np_h\sigma_h}{p_1\sigma_1+p_2\sigma_2}\qquad(h=1,2) \]
である。 これを[3]の分散の一般形に代入すると
\[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(\tilde{X}) &=\sum_{h=1}^{2}\frac{p_h^2\sigma_h^2}{n_h} \\ &=\sum_{h=1}^{2}\frac{p_h^2\sigma_h^2}{\dfrac{np_h\sigma_h}{p_1\sigma_1+p_2\sigma_2}} \\ &=\frac{p_1\sigma_1+p_2\sigma_2}{n}\sum_{h=1}^{2}p_h\sigma_h \\ &=\frac{(p_1\sigma_1+p_2\sigma_2)^2}{n} \end{aligned} \]
となる。 表1より\(n=100\)のとき、ネイマン配分は
\[ \begin{aligned} n_1&=\frac{100\times0.25\times30}{0.25\times30+0.75\times10}=50 \\ n_2&=\frac{100\times0.75\times10}{0.25\times30+0.75\times10}=50 \end{aligned} \]
であり、この配分による推定量の分散は
\[ \operatorname{Var}(\tilde{X})=\frac{(0.25\times30+0.75\times10)^2}{100}=2.25 \]
である。