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解答
[1]
[1-1]
表2のユークリッド2乗距離を結合の高さに用いる。 両方法とも、観測値\(2\)と\(4\)の距離\(1\)がすべての観測値対の距離の中で最小であるため、まず\(2\)と\(4\)を高さ\(1\)で結合する。 次に、残ったクラスター間の距離の中では観測値\(1\)と\(3\)の距離\(2\)が最小であるため、\(1\)と\(3\)を高さ\(2\)で結合する。 この時点で、クラスター\(\{1,3\}\)と\(\{2,4\}\)の距離は、最短距離法では
\[ \min(10,13,4,5)=4 \]
であり、最長距離法では
\[ \max(10,13,4,5)=13 \]
である。 最短距離法では\(\{1,3\}\)と\(\{2,4\}\)が高さ\(4\)で結合し、その後、観測値\(5\)が高さ\(5\)で結合する。 一方、最長距離法では\(\{1,3\}\)と\(\{5\}\)の距離が\(5\)であるため、これらが先に結合し、最後に\(\{2,4\}\)が高さ\(13\)で結合する。 したがって、デンドログラムは次のようになる。
[1-2]
\(K=2\)、すなわち最後の結合の直前で切ると、最短距離法の2群は\(\{1,2,3,4\}\)と\(\{5\}\)、最長距離法の2群は\(\{1,3,5\}\)と\(\{2,4\}\)である。
[1-3]
式(1)に従い、各群内の観測値対の2乗距離を足し、その群の観測値数で割る。 最短距離法では
\[ W(\{1,2,3,4\})+W(\{5\}) =\frac{10+2+13+4+1+5}{4}+0 =\frac{35}{4} \]
となる。 最長距離法では
\[ W(\{1,3,5\})+W(\{2,4\}) =\frac{2+5+5}{3}+\frac{1}{2} =\frac{9}{2} \]
となる。
[2]
[2-1]
初期分割\(C_1=\{1,2\}\)、\(C_2=\{3,4,5\}\)の中心は、表1から
\[ (\bar{x}_{11},\bar{x}_{12}) =\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right),\qquad (\bar{x}_{21},\bar{x}_{22}) =\left(\frac{2}{3},1\right) \]
である。 各観測値から両中心へのユークリッド2乗距離を計算する。 例えば、観測値\(1\)から\(C_1\)の中心までのユークリッド2乗距離\(d_1^2\)と、\(C_2\)の中心までのユークリッド2乗距離\(d_2^2\)は
\[ \begin{aligned} d_1^2 &=\left(0-\frac{1}{2}\right)^2 +\left(3-\frac{3}{2}\right)^2 =\frac{5}{2} \\ d_2^2 &=\left(0-\frac{2}{3}\right)^2 +(3-1)^2 =\frac{40}{9} \end{aligned} \]
となり、\(d_1^2 < d_2^2\)より観測値\(1\)は\(C_1\)に割り当てられる。 これらを観測値ごとに求めると、次のようにまとめられる。
| 観測値 | \(C_1\)の中心 | \(C_2\)の中心 | 新しい割当て |
|---|---|---|---|
| \(1\) | \(5/2\) | \(40/9\) | \(C_1\) |
| \(2\) | \(5/2\) | \(10/9\) | \(C_2\) |
| \(3\) | \(1/2\) | \(10/9\) | \(C_1\) |
| \(4\) | \(9/2\) | \(25/9\) | \(C_2\) |
| \(5\) | \(5/2\) | \(25/9\) | \(C_1\) |
したがって、新しい分割は\(C_1=\{1,3,5\}\)、\(C_2=\{2,4\}\)となる。 新しい中心\((0,2)\)と\((3/2,0)\)から式(2)で計算すると、
\[ W(C_1)+W(C_2)=4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2} \]
である。
各観測値と初期分割の中心を図示すると、各観測値を近い方の中心へ割り当てた結果も確認できる。 図中の破線は、各観測値と、割当て先となる近い方の初期中心を結んでいる。
[2-2]
クラスター\(C_k\)に属する観測値をベクトル\(\boldsymbol{x}_i\)、その平均を\(\bar{\boldsymbol{x}}_k\)、任意の中心を\(\boldsymbol{m}_k\)とする。 このとき、
\[ \sum_{i\in C_k}\lVert\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{m}_k\rVert^2 =\sum_{i\in C_k}\lVert\boldsymbol{x}_i-\bar{\boldsymbol{x}}_k\rVert^2 +|C_k|\lVert\bar{\boldsymbol{x}}_k-\boldsymbol{m}_k\rVert^2 \]
が成り立つ。 右辺の第2項は非負なので、割当てを固定したとき、各クラスターの中心をそのクラスターの平均に更新することで、目的関数は最小となる。 次に、中心を固定したとき、各観測値を最も近い中心へ割り当てれば、その観測値が目的関数へ加える平方距離が最小となる。 したがって、中心の更新と割当ての更新のいずれによっても目的関数は増加せず、更新によって平方距離が小さくなる場合には減少する。 割当てが変化しなくなると中心も変化せず、目的関数の値も変わらないため、アルゴリズムは終了する。
k-means法で得られる分割は初期クラスターに依存する。 そのため、異なる初期分割から複数回実行し、得られた目的関数の値が最も小さい結果を選ぶことで、より小さい目的関数の値をもつ分割を得やすくなる。