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解答
[1]
母集団での共分散は
\[ \operatorname{Cov}(X,Y)=0.75\times 12\times 12=108 \]
である。 したがって、差\(D=Y-X\)の期待値と分散は
\[ \begin{aligned} \operatorname{E}[D]&=120-120=0 \\ \operatorname{Var}(D)&=12^2+12^2-2\times 108=72 \end{aligned} \]
となる。 \((X,Y)\)が2変量正規分布に従うので、\(D\sim N(0,72)\)である。 標準正規分布の分布関数を\(\Phi\)とすると、
\[ P(D\leq -4) =\Phi\left(-\frac{4}{\sqrt{72}}\right) =\Phi\left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right) \approx \Phi(-0.47) \approx 0.3192 \]
を得る。
[2]
\(X=x\)が与えられたときの\(Y\)の条件付き分布は
\[ Y\,|\,X=x\sim N(\alpha+\beta x,\,\sigma^2) \]
であり、
\[ \beta=\frac{\sigma_{XY}}{\sigma_X^2},\qquad \alpha=\mu_Y-\beta\mu_X,\qquad \sigma^2=\sigma_Y^2-\frac{\sigma_{XY}^2}{\sigma_X^2} \]
である。 数値を代入すると、
\[ \beta=\frac{108}{144}=0.75,\qquad \alpha=120-0.75\times 120=30,\qquad \sigma^2=144-\frac{108^2}{144}=63 \]
となる。 よって、
\[ Y\,|\,X=132\sim N(129,63) \]
であり、
\[ \operatorname{E}[Y\,|\,X=132]=30+0.75\times 132=129,\qquad \operatorname{Var}(Y\,|\,X=132)=63 \]
となる。
初回測定値が\(132\,\mathrm{mmHg}\)の人たちでは、2回目の測定値の平均は\(129\,\mathrm{mmHg}\)となる。 これは、初回測定値の\(132\,\mathrm{mmHg}\)よりも、母集団全体の平均\(120\,\mathrm{mmHg}\)に近い。 このように、1回目に平均から離れた値をとった人たちの2回目の平均が、母集団全体の平均に近づく現象が平均への回帰である。 したがって、初回測定値\(132\,\mathrm{mmHg}\)から条件付き平均\(129\,\mathrm{mmHg}\)までの\(3\,\mathrm{mmHg}\)が、この集団で平均への回帰によって期待される下降分である。 昭雄さんの実測下降分\(4\,\mathrm{mmHg}\)のうち、\(3\,\mathrm{mmHg}\)を平均への回帰分とみなすことができる。
[3]
モデル\(X=\theta+\varepsilon_1\)、\(Y=\theta+\varepsilon_2\)で、真値と両誤差は互いに独立である。 したがって、母集団全体では
\[ \operatorname{Var}(X)=\operatorname{Var}(Y)=\tau^2+\psi^2,\qquad \operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{Var}(\theta)=\tau^2 \]
となる。 [1]の共分散と与えられた標準偏差を代入すると、
\[ \tau^2=108,\qquad \psi^2=144-108=36 \]
を得る。
[4]
\(X=\theta+\varepsilon_1\)より、
\[ \operatorname{E}[\theta]=\operatorname{E}[X]=120,\qquad \operatorname{Var}(\theta)=108,\qquad \operatorname{Var}(X)=144,\qquad \operatorname{Cov}(\theta,X)=108 \]
である。 \((\theta,X)\)は同時正規分布に従うので、条件付き正規分布の式から
\[ \begin{aligned} \operatorname{E}[\theta\,|\,X=132] &=120+\frac{108}{144}(132-120) =129 \\ \operatorname{Var}(\theta\,|\,X=132) &=108-\frac{108^2}{144} =27 \end{aligned} \]
となる。 したがって、
\[ \theta\,|\,X=132\sim N(129,27) \]
である。
[5]
\(\varepsilon_2\)は\((\theta,X)\)と独立であり、\(\varepsilon_2\sim N(0,36)\)である。 [4]より、\(X=132\)の条件の下で\(\theta\sim N(129,27)\)であるから、
\[ \begin{aligned} \operatorname{E}[Y\,|\,X=132] &=\operatorname{E}[\theta\,|\,X=132] +\operatorname{E}[\varepsilon_2] =129 \\ \operatorname{Var}(Y\,|\,X=132) &=\operatorname{Var}(\theta\,|\,X=132) +\operatorname{Var}(\varepsilon_2) =27+36 =63 \end{aligned} \]
となる。 したがって、
\[ Y\,|\,X=132\sim N(129,63) \]
である。 初回測定値が\(132\,\mathrm{mmHg}\)の人たちの真値の平均は\(129\,\mathrm{mmHg}\)であり、2回目の誤差の条件付き平均は\(0\)である。 そのため、2回目の測定値の平均も\(129\,\mathrm{mmHg}\)となり、初回測定値よりも母集団全体の平均\(120\,\mathrm{mmHg}\)に近づく。 これが、このモデルにおける平均への回帰である。
同じ条件付き分布から、求める確率は
\[ P(Y\leq 128\,|\,X=132) =\Phi\left(\frac{128-129}{\sqrt{63}}\right) =\Phi\left(-\frac{1}{\sqrt{63}}\right) \approx \Phi(-0.13) \approx 0.4483 \]
である。