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解答
[1]
対象集団の平均を\(\mu\)、標準偏差を\(\sigma\)、得点を\(x\)とすると、偏差値は
\[ 50 + 10 \times \frac{x - \mu}{\sigma} \]
である。したがって、文系学生の中でのAさんの偏差値は
\[ 50 + 10 \times \frac{74 - 70}{4} = 60 \]
であり、理系学生の中でのBさんの偏差値は
\[ 50 + 10 \times \frac{86 - 79}{4} = 67.5 \]
である。
文系学生の集団を\(G_1\)、理系学生の集団を\(G_2\)とし、得点を\(X\)とする。このとき、
\[ X\,|\,G_1 \sim N(70,4^2), \qquad X\,|\,G_2 \sim N(79,4^2) \]
である。各群の得点を標準化して得られる変数を\(Z\)とすると、\(Z\sim N(0,1)\)である。文系学生の合格率は
\[ \begin{aligned} P(X \geq 70\,|\,G_1) &=P\left(\frac{X - 70}{4} \geq \frac{70 - 70}{4}\,\middle|\,G_1\right) \\ &=P(Z \geq 0) \\ &=0.5 \end{aligned} \]
である。理系学生の合格率は
\[ \begin{aligned} P(X \geq 70\,|\,G_2) &=P\left(\frac{X - 79}{4} \geq \frac{70 - 79}{4}\,\middle|\,G_2\right) \\ &=P(Z \geq -2.25) \\ &=P(Z \leq 2.25) \\ &=0.9878 \end{aligned} \]
したがって、受験生全体の合格率は
\[ \frac{2}{3} \times 0.5 + \frac{1}{3} \times 0.9878 = 0.6626 \]
となる。
[2]
文系学生と理系学生の混合比を
\[ p_1 = P(G_1) = \frac{2}{3}, \qquad p_2 = P(G_2) = \frac{1}{3} \]
とする。また、各群の確率密度関数を\(f_1(x)\), \(f_2(x)\)とすると、受験生全体の確率密度関数は
\[ f(x) = p_1f_1(x) + p_2f_2(x) \]
である。ここで、\(f_1(x)\)は文系学生の得点分布\(X\,|\,G_1\sim N(70,4^2)\)の確率密度関数、\(f_2(x)\)は理系学生の得点分布\(X\,|\,G_2\sim N(79,4^2)\)の確率密度関数である。したがって、全体の平均は
\[ \begin{aligned} \operatorname{E}[X] &=\int_{-\infty}^{\infty}x f(x)\,dx \\ &=p_1\int_{-\infty}^{\infty}x f_1(x)\,dx +p_2\int_{-\infty}^{\infty}x f_2(x)\,dx \\ &=p_1\operatorname{E}[X\,|\,G_1] + p_2\operatorname{E}[X\,|\,G_2] \\ &=\frac{2}{3} \times 70 + \frac{1}{3} \times 79 \\ &=73 \end{aligned} \]
である。
分散は
\[ \operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[X^2] - \{\operatorname{E}[X]\}^2 \]
から求める。ここで、\(\operatorname{E}[X^2]\)は
\[ \begin{aligned} \operatorname{E}[X^2] &=\int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)\,dx \\ &=p_1\int_{-\infty}^{\infty}x^2 f_1(x)\,dx +p_2\int_{-\infty}^{\infty}x^2 f_2(x)\,dx \\ &=p_1\operatorname{E}[X^2\,|\,G_1] + p_2\operatorname{E}[X^2\,|\,G_2] \end{aligned} \]
となり、このとき各群について
\[ \operatorname{E}[X^2\,|\,G_j] =\operatorname{Var}(X\,|\,G_j) + \{\operatorname{E}[X\,|\,G_j]\}^2 \]
であるから、これを使うと
\[ \begin{aligned} \operatorname{E}[X^2] &= p_1\operatorname{E}[X^2\,|\,G_1] + p_2\operatorname{E}[X^2\,|\,G_2] \\ &=\frac{2}{3}\left(4^2 + 70^2\right) +\frac{1}{3}\left(4^2 + 79^2\right) \\ &=5363 \end{aligned} \]
となる。
よって、全体の分散は
\[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &=5363 - 73^2 \\ &=34 \end{aligned} \]
となる。
したがって、受験生全体の中でのAさんの偏差値は
\[ 50 + 10 \times \frac{74 - 73}{\sqrt{34}} \approx 51.7 \]
であり、Bさんの偏差値は
\[ 50 + 10 \times \frac{86 - 73}{\sqrt{34}} \approx 72.3 \]
である。
[3]
[3-1]
文系学生と理系学生の得点の確率密度関数\(f_1(x)\), \(f_2(x)\)は、それぞれ
\[ f_1(x) = \frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{(x - 70)^2}{32}\right\} \]
および
\[ f_2(x) = \frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{(x - 79)^2}{32}\right\} \]
である。受験生全体の確率密度関数は
\[ f(x) = \frac{2}{3}f_1(x) + \frac{1}{3}f_2(x) \]
となる。
混合比を掛けた各成分と全体の確率密度関数の概形は次のようになる。全体の分布は\(70\)付近に主峰をもち、理系学生の成分によって\(79\)付近の右側が持ち上がった形になる。
[3-2]
正規密度の微分より、
\[ f_1'(x) = -\frac{x - 70}{16}f_1(x), \qquad f_2'(x) = -\frac{x - 79}{16}f_2(x) \]
である。したがって、全体の密度の導関数は
\[ f'(x) = -\frac{1}{16}\left\{\frac{2}{3}(x - 70)f_1(x) +\frac{1}{3}(x - 79)f_2(x)\right\} \]
となる。
\(x<70\)では\(x-70<0\)かつ\(x-79<0\)であるから、\(f'(x)>0\)である。また、
\[ f'(70) = \frac{3}{16}f_2(70) > 0 \]
なので、\(x=70\)でも密度は増加している。一方、\(x>79\)では\(f'(x)<0\)であり、
\[ f'(79) = -\frac{3}{8}f_1(79) < 0 \]
である。よって、全体の密度は\(70\)より左では増加し、\(79\)より右では減少し、最大値を与える点は\(70<x<79\)にある。したがって、受験生全体の分布の最頻値は\(70\)よりも大きい。