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解答
ここで、標準正規分布の累積分布関数を\(\Phi\)とする。
【ア】、【イ】について
期待値の線形性と、共分散が\(60\)であることから、
\[ \begin{aligned} \operatorname{E}[X+Y] &=\operatorname{E}[X]+\operatorname{E}[Y]=50+50=100 \\ \operatorname{Var}(X+Y) &=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y) \\ &=100+100+2\times60=320 \end{aligned} \]
である。 よって、【ア】は\(100\)、【イ】は\(320\)となる。
【ウ】について
\(X\), \(Y\)が2変量正規分布に従うので、\(X+Y\sim N(100,320)\)である。 したがって、合格率は
\[ \begin{aligned} P(X+Y\geq120) &=1-\Phi\left(\frac{120-100}{\sqrt{320}}\right) \\ &=1-\Phi\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right) \\ &\approx 1-\Phi (1.12) \\ &\approx 0.1314 \end{aligned} \]
である。 これより、【ウ】は\(0.1314\)となる。
【エ】について
合格最低点を\(c\)とすると、合格率を\(0.20\)にする条件は
\[ 1-\Phi\left(\frac{c-100}{\sqrt{320}}\right)=0.20 \]
である。 これを解くと、
\[ c=100+\sqrt{320}\,\Phi^{-1}(0.80)\approx 115.06 \]
となる。 したがって、【エ】は約\(115\)点である。
【オ】、【カ】について
2変量正規分布の条件付き分布の公式より、
\[ \begin{aligned} \operatorname{E}[Y\,|\,X=x] &=50+\frac{60}{100}(x-50)=20+0.6x \\ \operatorname{Var}(Y\,|\,X=x) &=100-\frac{60^2}{100}=64 \end{aligned} \]
である。 \(x=50\)を代入すると、【オ】は\(50\)、【カ】は\(64\)となる。
【キ】について
\(X=50\)のもとでは合格条件は\(Y\geq70\)であり、条件付き分布は
\[ Y\,|\,X=50\sim N(50,64) \]
である。 したがって、
\[ \begin{aligned} P(X+Y\geq120\,|\,X=50) &=P(Y\geq70\,|\,X=50) \\ &=1-\Phi\left(\frac{70-50}{8}\right) \\ &=1-\Phi(2.5)\approx 0.0062 \end{aligned} \]
より、【キ】は\(0.0062\)となる。
【ク】について
\(Z=(X-50)/10\)とおくと、\(Z\sim N(0,1)\)であり、\(X\geq50\)と\(Z\geq0\)は同じ事象である。 問題文で与えられた期待値を用いると、
\[ \begin{aligned} \operatorname{E}[X\,|\,X\geq50] &=50+10\operatorname{E}[Z\,|\,Z\geq0] \\ &=50+10\sqrt{\frac{2}{\pi}} \\ &\approx 57.98 \end{aligned} \]
となる。 よって、【ク】はおよそ\(58\)である。
【ケ】について
事象\(\{X\geq50\}\)は\(X\)だけで決まるので、反復期待値の法則により
\[ \begin{aligned} \operatorname{E}[Y\,|\,X\geq50] &=\operatorname{E}\!\left[\operatorname{E}[Y\,|\,X]\,|\,X\geq50\right] \\ &=20+0.6\operatorname{E}[X\,|\,X\geq50] \\ &=50+6\sqrt{\frac{2}{\pi}} \\ &\approx 54.79 \end{aligned} \]
となる。 よって、【ケ】はおよそ\(54.8\)である。