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解答
[1]
各\(X_i\)の周辺分布を考えると、満足している学生を選ぶ確率は\(P(X_i=1)=6/10=3/5\)である。 したがって、\(X_i\)は成功確率\(3/5\)のベルヌーイ分布に従い、
\[ \operatorname{E}[X_i] = 1\times\frac{3}{5}+0\times\frac{2}{5}=\frac{3}{5} \]
となる。
また、\(X_i\)は
\[ X_i= \begin{cases} 1 & \text{第$i$番目の学生が満足している場合}\\ 0 & \text{第$i$番目の学生が不満を感じている場合} \end{cases} \]
であるから、\(X_i^2=X_i\)となる。 したがって、
\[ \operatorname{E}[X_i^2]=1\times\frac{3}{5}+0\times\frac{2}{5}=\frac{3}{5} \]
となり、
\[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(X_i) &=\operatorname{E}[X_i^2]-\{\operatorname{E}[X_i]\}^2 \\ &=\frac{3}{5}-\left(\frac{3}{5}\right)^2 =\frac{6}{25} \end{aligned} \]
である。
[2]
\(i\neq j\)のとき、\(X_iX_j\)は、選ばれた両者が満足している場合だけ\(1\)となる。 学生を元に戻さずに選ぶことを用いると、
\[ \begin{aligned} \operatorname{E}[X_iX_j] &=1\times1\times P(X_i=1,X_j=1) \\ &\quad+1\times0\times P(X_i=1,X_j=0) \\ &\quad+0\times1\times P(X_i=0,X_j=1) \\ &\quad+0\times0\times P(X_i=0,X_j=0) \\ &=\frac{6}{10}\times\frac{5}{9} =\frac{1}{3} \approx 0.3333 \end{aligned} \]
である。 [1]と合わせると、
\[ \begin{aligned} \operatorname{Cov}(X_i,X_j) &=\operatorname{E}[X_iX_j]-\operatorname{E}[X_i]\operatorname{E}[X_j] \\ &=\frac{1}{3}-\left(\frac{3}{5}\right)^2 =-\frac{2}{75} \approx -0.0267 \end{aligned} \]
となる。 よって、相関係数は
\[ \begin{aligned} \operatorname{Cor}(X_i,X_j) &=\frac{\operatorname{Cov}(X_i,X_j)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X_i)\operatorname{Var}(X_j)}} \\ &=\frac{-2/75}{6/25} =-\frac{1}{9} \approx -0.1111 \end{aligned} \]
である。
[3]
期待値の線形性より、
\[ \operatorname{E}[T_5] =\sum_{i=1}^{5}\operatorname{E}[X_i] =5\times\frac{3}{5}=3 \]
となる。 分散については、偏差の和を二乗して期待値を取ると、
\[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(T_5) &=\operatorname{E}\!\left[\left\{\sum_{i=1}^{5}(X_i-\operatorname{E}[X_i])\right\}^{2}\right] \\ &=\sum_{i=1}^{5}\operatorname{Var}(X_i) +2\sum_{1\leq i<j\leq5}\operatorname{Cov}(X_i,X_j) \end{aligned} \]
となる。 ここで、異なる添字の組\((i,j)\)は$ {}_{5}C_2=10$組より
\[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(T_5) &=\sum_{i=1}^{5}\operatorname{Var}(X_i) +2\sum_{1\leq i<j\leq5}\operatorname{Cov}(X_i,X_j) \\ &=5\times\frac{6}{25}+2\times10\times\left(-\frac{2}{75}\right) =\frac{2}{3} \end{aligned} \]
となる。
[4]
満足している学生数を\(M=m\)に固定したときの抽出確率を\(P(\,\cdot\,|\,M=m)\)と書く。 \(10\)名から\(5\)名を選ぶ場合の数は$ {}{10}C_5=252\(であり、\)M=6\(のときに全員が満足している選び方は\) {}{6}C_5=6$通りである。 したがって、
\[ P(T_5=5\,|\,M=6)=\frac{{}_{6}C_5}{{}_{10}C_5} =\frac{6}{252}=\frac{1}{42} \]
である。
[5]
\(M=m\)に対する上側片側検定を反転し、棄却されない\(m\)の集合として下側信頼限界を求める。 観測値\(T_5=5\)は取り得る最大値なので、上側確率は
\[ p_m=P(T_5\geq5\,|\,M=m) =\begin{cases} 0 & m<5\\ \dfrac{{}_{m}C_5}{252} & m=5,6,\ldots,10 \end{cases} \]
である。 この確率は\(m\)に関して単調増加し、
\[ \begin{aligned} p_6&=\frac{1}{42}\approx 0.0238<0.05 \\ p_7&=\frac{1}{12}\approx 0.0833>0.05 \end{aligned} \]
となる。 よって、有意水準\(0.05\)で棄却されない母数値は\(\{7,8,9,10\}\)であり、これが信頼区間となる。 これより、求める最小の値は\(M=7\)である。