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解答
[1]
標準正規分布の分布関数を\(\Phi\)とする。 与えられた分散共分散行列より、各科目の分散は\(100\)であり、
\[ \operatorname{Cov}(X,Y)=40,\qquad \operatorname{Cov}(X,Z)=20,\qquad \operatorname{Cov}(Y,Z)=80 \]
である。 \(X\), \(Y\), \(Z\)が3変量正規分布に従うので、2科目平均\(M_2=(X+Y)/2\)と3科目平均\(M_3=(X+Y+Z)/3\)も正規分布に従う。
2科目平均について、\(\operatorname{E}[M_2]=50\)であり、
\[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(M_2) &=\frac{1}{4}\{\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)\} \\ &=\frac{1}{4}(100+100+2\times40) \\ &=70 \end{aligned} \]
となる。 したがって、【ア】は\(70\)である。 \(M_2\sim N(50,70)\)より、合格率は
\[ \begin{aligned} P(M_2\ge40) &=1-\Phi\left(\frac{40-50}{\sqrt{70}}\right) \\ &=\Phi\left(\frac{10}{\sqrt{70}}\right) \\ &\approx 0.8840 \end{aligned} \]
であり、【イ】は約\(0.88\)である。
3科目平均についても\(\operatorname{E}[M_3]=50\)である。 その分散は
\[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(M_3) &=\frac{1}{9}\{\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+\operatorname{Var}(Z) \\ &\qquad+2\operatorname{Cov}(X,Y)+2\operatorname{Cov}(X,Z)+2\operatorname{Cov}(Y,Z)\} \\ &=\frac{1}{9}\{300+2\times(40+20+80)\} \\ &=\frac{580}{9}\approx 64.4 \end{aligned} \]
となるので、【ウ】は約\(64.4\)である。 \(M_3\sim N(50,580/9)\)より、合格率は
\[ \begin{aligned} P(M_3\ge40) &=1-\Phi\left(\frac{40-50}{\sqrt{580/9}}\right) \\ &=\Phi\left(\frac{30}{\sqrt{580}}\right) \\ &\approx 0.8936 \end{aligned} \]
であり、【エ】は約\(0.89\)である。
目標の合格率\(p=0.9\)をもつ合格基準について、\(n\)回の独立な試行で得られる合格者数を\(S\)とすると、\(S\sim\operatorname{Bin}(n,p)\)である。 合格率の推定量\(\hat{p}=S/n\)の標準誤差は
\[ \sqrt{\operatorname{Var}(\hat{p})} =\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} =\sqrt{\frac{0.9\times0.1}{n}} \]
である。 これを\(0.01\)以下にする条件は
\[ \sqrt{\frac{0.09}{n}}\le0.01 \quad\Longleftrightarrow\quad n\ge\frac{0.09}{0.01^2}=900 \]
となるので、最低試行回数【オ】は\(900\)である。
[2]
求める下三角行列を\(B\)とし、
\[ B= \begin{pmatrix} b_{11}&0&0\\ b_{21}&b_{22}&0\\ b_{31}&b_{32}&b_{33} \end{pmatrix},\qquad R= \begin{pmatrix} 1&0.4&0.2\\ 0.4&1&0.8\\ 0.2&0.8&1 \end{pmatrix} \]
とおく。 \(BB^T=R\)の左辺は
\[ BB^T= \begin{pmatrix} b_{11}^2&b_{11}b_{21}&b_{11}b_{31}\\ b_{11}b_{21}&b_{21}^2+b_{22}^2&b_{21}b_{31}+b_{22}b_{32}\\ b_{11}b_{31}&b_{21}b_{31}+b_{22}b_{32}&b_{31}^2+b_{32}^2+b_{33}^2 \end{pmatrix} \]
となる。 成分を比較し、\(B\)の対角成分が正であることを用いて順に求める。
\((1,1)\)成分から\(b_{11}^2=1\)なので、\(b_{11}=1\)である。 \((2,1)\)成分と\((3,1)\)成分から
\[ b_{21}=0.4,\qquad b_{31}=0.2 \]
となり、【カ】は\(0.4\)、【ク】は\(0.2\)である。
\((2,2)\)成分から\(b_{21}^2+b_{22}^2=1\)なので、
\[ b_{22}=\sqrt{1-0.4^2} =\sqrt{0.84} =\frac{\sqrt{21}}{5} \approx 0.9165 \]
となり、【キ】は約\(0.92\)である。
\((3,2)\)成分から\(b_{21}b_{31}+b_{22}b_{32}=0.8\)なので、
\[ \begin{aligned} b_{32} &=\frac{0.8-b_{21}b_{31}}{b_{22}} \\ &=\frac{0.8-0.4\times0.2}{\sqrt{0.84}} \\ &=\frac{18}{5\sqrt{21}}\approx 0.7856 \end{aligned} \]
となり、【ケ】は約\(0.79\)である。
\((3,3)\)成分から\(b_{31}^2+b_{32}^2+b_{33}^2=1\)なので、
\[ \begin{aligned} b_{33}^2 &=1-b_{31}^2-b_{32}^2 \\ &=1-0.2^2-\frac{0.72^2}{0.84} \\ &=\frac{12}{35} \end{aligned} \]
である。 \(b_{33}>0\)より
\[ b_{33}=\sqrt{\frac{12}{35}}\approx 0.5855 \]
となり、【コ】は約\(0.59\)である。 各係数は途中で丸めずに求め、最後に小数第2位に丸めた。
互いに独立な標準正規乱数のベクトル\(\boldsymbol{w}\)を用いると、\(\boldsymbol{V}=10B\boldsymbol{w}+(50,50,50)^T\)は3変量正規分布に従い、平均ベクトルは\((50,50,50)^T\)、分散共分散行列は\(10^2BB^T=10^2R\)となることが確認できる。